Algebra Boole'a jest to struktura matematyczna złożona z uniwersum X, trzech funkcji: działań binarnych +, * i działania unarnego ~ oraz wyróżnionych elementów 0, 1 spełniających następujące aksjomaty:
- zarówno + jak i * są łączne i przemienne:
- x + y = y + x
- x * y = y * x
- (x + y) + z = x + (y + z)
- (x * y) * z = x * (y * z)
- 0 jest elementem neutralnym dla +: x + 0 = x
- 1 jest elementem neutralnym dla *: x * 1 = x
- x + (~x) = 1
- x * (~x) = 0
- + i * są rozdzielne względem siebie:
- x * (y + z) = (x * y) + (x * z)
- x + (y * z) = (x + y) * (x + z)
- dwa działania ~ się znoszą: ~~x = x
- prawa de Morgana
- ~(x * y) = (~x) + (~y)
- ~(x + y) = (~x) * (~y)
Przykłady algebr Boole'a
- Algebra zbiorów. X jest w tym przypadku jakimś ciałem zbiorów. Działanie + jest to suma zbiorów, * - przekrój zbiorów, a ~ - dopełnienie. 0 to zbiór pusty, a 1 - cały zbiór X.
- Rachunek zdań. X to w tym przypadku zbiór formuł logicznych, działanie * to koniunkcja, + - alternatywa, zaś ~ - negacja. Wreszcie 1 to formuła zawsze prawdziwa, a 0 - zawsze fałszywa (tak naprawdę elementami X nie są same formuły logiczne, a klasy abstrakcji ze względu na relację: formuła f jest równoważna formule g, jeśli dla tych samych podstawień zmiennych ich wartość logiczna jest taka sama).
drukuj
